Cómo Calcular la Matriz Exponencial con Maxima (wxMaxima)

Ya habíamos hablado por aquí sobre como podíamos ‘calcular la matriz de transición de estados con Maxima observamos de donde salia aquella expresión resultante, haciendo uso de la transformada de LaPlace para sistemas en variables de estado, ahora vamos a ver una función muy importante y sumamente útil en el campo del álgebra lineal y en mi caso, resulta de especial importancia en el control.

Denominamos matriz exponencial a la matriz:

e^{A}

Donde ‘A’ es una matriz de nxn.

¿Por qué es importante la matriz exponencial?

Saber el valor y por lo que resulta más útil saber como obtenerla es que, al tener un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de la forma:

\dot{X(t)}=AX(t)

Entonces la solución a dicho sistema puede ser representado como:

X(t)=e^{At}X(0)

Donde el término e^{At} se conoce como la matriz exponencial, así que si no sabemos o no podemos obtener dicha matriz entonces difícilmente (o incluso no) obtendremos las solución del sistema de ecuaciones propuesto.

¿Cómo obtengo la matriz exponencial con Maxima?

Obtener esta matriz resulta bastante sencillo haciendo uso de la herramienta de cálculo simbólico Maxima, el proceso los vamos a explicar haciendo uso de un ejemplo, que es lo que normalmente hacemos en nuestro blog, ¿finalmente no es por medio de ejemplos la mejor forma de aprender?.

Vamos a calcular la matriz exponencial e^{A} para la siguiente matriz:

matriz A

Lo que debemos hacer en primer lugar, es ingresar esta matriz al espacio de trabajo de Maxima, como una nueva variables y lo hacemos a continuación:

Ingresando la matriz A en Maxima.

Ingresando la matriz A en Maxima.

A continuación, hacemos uso de la función matrixexp(), la cual recibe como parámetros la matriz a la cual se le va a realizar la exponencial, en este caso A, la podemos usar de la siguiente forma. (recordemos que en Maxima se usa el operador : en lugar del = para las asignaciones, por lo tanto a continuación asignamos el resultado a una variable K).

Matriz exponencial en Maxima de A.

Matriz exponencial en Maxima de A.

Cómo podemos observar, aunque el resultado es meramente numérico, por su precisión, Maxima nos retorna una matriz expresada de forma prácticamente simbólica, podemos hacer que Maxima nos retorne una forma completamente numérica si escribimos a continuación de la variable (en este caso K), separada por una , (coma) la palabra reservada numer, como te mostramos a continuación.

Maxima nos muestra un resultado numérico al poner la sentencia numer.

Maxima nos muestra un resultado numérico al poner la sentencia numer.

 

¿Cómo lo puedo hacer con expresiones simbólicas?

¿Creías que era todo?, claro que no, Maxima también nos permite este cálculo con expresiones que generen resultados simbólicos, por ejemplo, calculemos la solución para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado por:

\dot{X}=AX

Donde (como sabemos) la solución viene dada por:

X(t)=e^{At}X(0)

Y en nuestro ejemplo, la matriz A y el vector de las condiciones iniciales son:

matriz a sistema de estados

Entonces el proceso para encontrar la solución a ese sistema de ecuaciones diferenciales, lo primero que hacemos es ingresar la matriz A y el vector de condiciones iniciales Xo en el software, una vez hecho esto, se halla la matriz exponencial correspondiente e^{At} mediante la función matrixexp() que ya habíamos mostrado, obteniendo entonces este resultado.

Matriz exponencial, en el tiempo, con matrixexp(A*t).

Matriz exponencial, en el tiempo, con matrixexp(A*t).

A continuación, teniendo en cuenta las condiciones iniciales del problema, Xo y teniendo en presente la forma de la solución, el resultado final está dado por:

Solución del sistema de ecuaciones diferenciales con Maxima y matrixexp().

Solución del sistema de ecuaciones diferenciales con Maxima y matrixexp().

Ese sería el resultado que esperamos, este es el mismo resultado que vimos en la entrada sobre la matriz de transición de estados con Maxima.

Solución temporal del sistema, después de realizar los procedimientos indicados.

Solución temporal del sistema, después de realizar los procedimientos indicados.

Hasta aquí ha llegado este tutorial, esperamos que la información te haya sido útil, si crees que esto puede ser de utilidad para alguien más, ayúdanos a compartirlo para que llegue a más personas. Por otro lado, si tienes comentarios, dudas o sugerencias, nos puedes escribir en la sección de comentarios.

Saludos.

Autor: Julio César E. Marulanda.

Un comentario en “Cómo Calcular la Matriz Exponencial con Maxima (wxMaxima)

  1. Pingback: Obtener las Ecuaciones de Estado Discretas con Maxima (wxMaxima) | El Blog de Programación para Ingenierías

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