Vectores y Valores Propios en Matlab (Autovalores y Autovectores).

Habíamos comentado antes cómo hallar los vectores y valores propios en Scilab, ahora es el turno de hacerlo en Matlab, ya que por estos días varios de mis compañeros de clase necesitan recordar un poco cómo se hacía para las clases de Control, por aquello de los valores característicos, el polinomio característico y los polos del sistema, así que aquí va.

Primero que nada debemos recordar la ecuación del vector propio, que nos dice que para cierto vector v y un valor escalar (Lambda) la multiplicación de la matriz A por dicho vector es igual a un escalar multiplicado por el mismo vector, osea que es como si la matriz se comportara como un simple escalar, con lo que el vector ‘v‘ solo cambiaría su tamaño, pero en ningún momento su dirección, esto se ve en la siguiente ecuación.

eigen1

Definamos para los siguientes ejemplos la matriz A.

tut1

¿Cómo hallo el valor y vector propio de una matriz en Matlab?

Hay dos formar de hacerlo, primero veamos la más directa y más corta, Matlab proporciona la función eig() que recibe como parámetro la matriz a la cual le queremos hallar dichos valores y nos retornará un vector conteniendo cada uno de los valores propios o también conocidos como valores característicos de la matriz ingresada.

Usando eig() para obtener los valores propios de la matriz A.

tut3

La función eig() también nos permite obtener los valores y vectores propios de la matriz A al mismo tiempo, la forma de usarlo es la siguiente:

tut5

Entonces como se puede ver, ahora la forma de invocar la función ha cambiado del lado de los argumentos de salida, donde obtendremos dos matrices, la primera matriz (a la que llamaremos vectores) almacenará los vectores propios en forma de columna, o dicho de otra forma, cada una una de la columnas de dicha matriz será un vector propio. Por otra parte, la función nos retornará una segunda matriz a la que llamaremos ‘valores’, en esta matriz solo habrá valores en la diagonal principal y estos será los valores propios correspondientes a cada vector.

Pongamos a prueba la ecuación que habíamos puesto arriba, primero multiplicamos la matriz A por el primer vector propio, y luego multiplicaremos el primer valor propio por el mismo vector y el resultado deberá ser el mismo como se muestra en la siguiente figura.

tut6

Cómo se puede observar el resultado es el mismo, lo que comprueba de forma ”experimental” la valides de la ecuación del vector propio que habíamos puesto arriba, esto tiene una gran cantidad de aplicaciones, por ejemplo, en mi carrera, entre otras cosas, lo uso para hallar los polos de un sistema que vayamos a controlar, además de que también nos dan información sobre su estabilidad, etc. Por lo tanto resulta importante que tengan en cuenta el modo de operación de esta función ya que nos ahorra bastante tiempo en los cálculos y nos permite centrarnos por completo en el análisis.

En esta entrada, te mostramos cómo obtener con Matlab los coeficientes del polinomio característico de la matriz A.

Autor: Julio César Echeverri.

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